Абсолютная величина

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль, числа [math]\displaystyle{ x }[/math] (в математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между началом координат и [math]\displaystyle{ x }[/math]. Обозначается: [math]\displaystyle{ |x|. }[/math]

В случае вещественного [math]\displaystyle{ x }[/math] абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

[math]\displaystyle{ |x| = \begin{cases} x, & x \gt 0, \\ 0, & x=0, \\ -x, & \ x \lt 0.\end{cases} }[/math]

Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина^[1], комплексного числа [math]\displaystyle{ z=x+iy. }[/math] Это число определяется по формуле:

[math]\displaystyle{ |z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}. }[/math]

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина [math]\displaystyle{ |x_1 - x_2| }[/math] означает расстояние между точками [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы^[2].

Вещественные числа

Область определения: [math]\displaystyle{ (- \infty ; + \infty ). }[/math]
Область значений: [math]\displaystyle{ [0; + \infty ). }[/math]
Функция чётная.
Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] функция претерпевает излом.

Комплексные числа

Область определения: вся комплексная плоскость.
Область значений: [math]\displaystyle{ [0; + \infty ). }[/math]
Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства

Для любых вещественных чисел [math]\displaystyle{ a, b }[/math] имеют место следующие соотношения:

[math]\displaystyle{ \ |x| = \sqrt {x^2} = x \cdot \sgn x = {\rm max}\,\{x,\,-x \} }[/math] (sgn — функция знака);
[math]\displaystyle{ a \leqslant |a|; }[/math]
[math]\displaystyle{ -|a| \leqslant a; }[/math]
квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: [math]\displaystyle{ |a|^2 = a^2. }[/math]

Как для вещественных, так и для комплексных [math]\displaystyle{ a, b }[/math] имеют место соотношения:

модуль любого числа равен либо больше нуля: [math]\displaystyle{ |a| \geqslant 0 }[/math], причём [math]\displaystyle{ |a|=0 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ a=0; }[/math]
модули противоположных чисел равны: [math]\displaystyle{ |{-a}| = |a|; }[/math]
модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: [math]\displaystyle{ |ab| = |a||b|; }[/math]
- в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: [math]\displaystyle{ |ab| = a|b|,\quad a\gt 0; }[/math]
модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: [math]\displaystyle{ \left| \frac {a} {b} \right| = \frac {|a|} {|b|}; }[/math]
[math]\displaystyle{ |a+b| \leqslant |a|+|b| }[/math] (неравенство треугольника);
[math]\displaystyle{ |a-b| \leqslant |a|+|b|; }[/math]
[math]\displaystyle{ |a|-|b| \leqslant |a+b|; }[/math]
[math]\displaystyle{ |a \pm b| \geqslant \big||a|-|b|\big|; }[/math]
[math]\displaystyle{ |a^k| = |a|^k, }[/math] если [math]\displaystyle{ a^k }[/math] существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

Обобщение

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую [math]\displaystyle{ \|x\| }[/math]. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

Примечания

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
↑ Определение медианы как числа (точки), минимизирующего сумму расстояний до некоторого набора (неопр.).

[1] Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.

[2] Определение медианы как числа (точки), минимизирующего сумму расстояний до некоторого набора (неопр.).

[1]

[2]